فصل اول

                                     حرکت شناسي

                                مدرس : دکتر بختیاری

براي بررسي حرکت يک جسم ابتدا به تعريف چند کميت مي پردازيم.

بردار مکان و بردار جابه جايي

بردار مکان موقعيت مکاني جسم را در صفحه مختصات نشان مي دهد. ابتداي بردار مکان بعداً مختصات و انتهاي آن نقطه اي است که جسم در آن واقع شده است.

فرض کنيد که يک جسم متحرک در لحظه t₁ در نقطه A باشد و در لحظه t₂ به نقطه B رسيده باشد. بردار جابه جايي بين دو لحظه t₁  و t₂ برداري است که ابتداي آن مکان متحرک در لحظه t¹ و انتهاب آن مکان متحرک در لحظه t₂ باشد.

Δr تفاضل r₂   و r₁  است يعني r₂-r₁ = Δr

بردار جابه  جاهايي به مسير حرکت بستگي ندارد و فقط با داشتن دو نقطه (مکان جسم در لحظه t1 و مکان جسم در لحظه t₂) رسم مي شود.

حرکت روي خط راست

هر گاه راستاي حرکت جسم متحرک، يک خط راست باشد در تمام لحظه ها بردار جابه جايي هايي متحرک بر همان راستا خواهد بود. مبدأ هم روي همين راستا انتخاب مي شود در اين صورت محاسبه بر روي اين بردارها به سادگي انجام مي گيرد.

نمودار مکان – زمان

اين نمودار مکان جسم را در زمانهاي مختلف نشان مي دهد. غالباً محور افقي زمان و محور قائم مکان جسم را نشان مي دهد. با استفاده از اين نمودار مي توان دريافت که متحرک در هر لحظه در چه مکاني قرار دارد و جابه جايي آن بين هر دو لحظه چقدر است.

سرعت متوسط و تعيين آن به کمک نمودار مکان  - زمان

تغيير مکان يک جسم تقسيم بر تغييرات زمان را سرعت متوسط مي گويند. سرعت متوسط به صورت v نشان داده مي شود. سرعت متوسط کميتي برداري است که با بردار جابه جايي هم جهت است. يکاي سرعت متوسط متر بر ثانيه (m/s) مي باشد.

نمودار مکان . زمان يک جسم متحرک نشان داده شده است. سرعت متوسط بين دو نقطه A و

سرعت متوسط بين دو نقطه از نوار مکان – زمان برابر شيب خطي است که آن دو نقطه را به هم وصل مي کند.

سرعت لحظه اي و تعيين آن به کمک نمودار مکان – زمان

سرعت لحظه اي، سرعت متوسط در هر لحظه از حرکت است. سرعت متوسط در حدي که با ذره ي زماني Δt  فوق العاده کوچک شود، سرعت لحظه اي ناميده مي شود. يک بار ديگر نمودار مکان – زمان را در نظر بگيريد. اگر Δt فوق العاده کوچک شود نقطه B خيلي خيلي به A نزديک مي شود و در نهايت خط AB در نقطه A  نمودار احساس مي شود. سرعت در هر لحظه برابر شيب خط مماس بر نمودار مکان – زمان در آن لحظه است

انواع حرکت روي خط راست

۱) حرکت يکنواخت روي خط راست

هرگاه سرعت لحظه اي متحرکي که بر روي خط راست حرکت مي کند در تمام  لحظه ها يکسان باشد، حرکت آن حرکت يکنواخت ناميده مي شود. در اين حرکت نمودار مکان – زمان يک خط راست خواهد بود زيرا شيب خط   Δx/Δt تغيير نمي کند.

و سرعت در تمام لحظه ها مساوي با سرعت متوسط خواهد بود.

V = v¯ ® V =   ^ΔX/_Δt 

ΔX = V Δt

اگر در لحظه t=0  فاصله متحرک تا مبدأ برابر x₀ و در لحظه t برابر x باشد:

(x-x₀)= v(t-0)

x = vt + x0 معادله حرکت يکنواخت

نمودار سرعت زمان

با داشتن سرعت در زمانهاي مختلف مي توانيم اين نمودار را رسم کنيم. محور افقي را زمان و محور قائم را سرعت اختياري مي کنيم.

اگر جسم متحرک با سرعت ثابت روي خط راست حرکت کند نمودار سرعت – زمان آن مطابق زير خواهد بود.

و نمودار مکان – زمان آن مطابق زير خواهد بود:

۲) حرکت شتابدار روي خط راست (با شتاب ثابت)

در مواردي که سرعت متحرک تغيير مي کند مي گوييم حرکت شتابدار يا غير يکنواخت است. شتاب متوسط برابر تغيير سرعت در واحد زمان است و يکاي آن (m/s₂) است.

a = ^Δv/_Δt

«شتاب متوسط بين دو لحظه برابر شيب خطي است که نمودار سرعت – زمان را در آن دو لحظه قطع کند.»

شتاب متوسط در حدي که Δt فوق العاده کوچک شود، شتاب لحظه اي ناميده مي شود و برابر شيب خط مماس بر نمودار سرعت – زمان در لحظه مورد نظر است.

هرگاه در حرکتي در تمام لحظه ها شتاب يکسان باشد، آن را حرکت با شتاب ثابت مي ناميم. در اين حالت شتاب متوسط با شتاب لحظه اي برابر است.

a¯= a =  ^Δv/_Δt  =   ^{v2 - v1} / _{t2 - t1} 

اگر در اين رابطه ۰=t₁  و t₂ = t اختيار شود وv₀  سرعت در لحظه صفر و v سرعت در لحظه t باشد.

a = ^{v - v0} / _t

v=at+ v0  معادله حرکت با شتاب ثابت

نمودار سرعت – زمان آن به صورت زير است:

معادله مکان – زمان در حرکت با شتاب ثابت بر روي خط راست به شکل زير محاسبه شده است:

X= ¹/₂ at²  +  v₀t+ x₀

و اگر زمان را از معادله حرکت با شتاب ثابت به دست آوريم و در رابطه بالا جايگزين کنيم رابطه زير به دست مي آيد که مستقل از زمان است (يعني زمان در آن وجود ندارد.)

v² - v₀² = 2a(x-x0)

سقوط آزاد

سقوط آزاد نمونه طبيعي حرکت با شتاب ثابت است. در اين حرکت جسم تحت تأثير نيروي وزن خود در يک مسير مستقيم سقوط مي کند. در سقوط آزاد جابه جايي در امتداد محور قائم است. مکان متحرک با y نشان داده مي شود. مبدأ نقطه اي است که سقوط از آن نقطه شروع مي شود. اگر جهت مثبت را رو به پايين اختيار کنيم مي توان نوشت

Y = 1/2 gt² + v₀t

V = gt + v₀

v² - v₀² = 2gh

G شتاب گرانش است و مقدار آن حدود 8/9  m/s²  مي باشد.

2

نکات مهم بخش سينماتيک

نکته ۱ - جابجايی برداری است که نقطه مبدا را دريک حرکت به نقطه مقصد وصل می کند.

نکته ۲ - جابجايی يک متحرک در يک ثانيه را سرعت متوسط می ناميم ، پس اگر جابجايی را به زمان تقسيم کنيم سرعت متوسط بدست می آيد .

نکته ۳ - رابطه ميان مکان يک متحرک با زمان معادله حرکت نام دارد .

نکته ۴ - اگر از معادله حرکت نسبت به زمان مشتق بگيريم  معادله سرعت بدست می آيد .

نکته ۵ - تغيير سرعت در يک ثانيه را شتاب متوسط می ناميم ، پس اگر تغيير سرعت را به زمان تقسيم کنيم شتاب متوسط بدست می آيد .

نکته ۶ - اگر از معادله سرعت نسبت به زمان مشتق بگيريم معادله شتاب بدست می آيد .

نکته ۷ - اگر در معادلات حرکت ، سرعت و يا شتاب بجای زمان مقدار قرار دهيم به ترتيب ، مکان جسم ، سرعت لحظه ای و يا شتاب لحظه ای بدست می آيد .

نکته ۸ - در حرکتی که رو به عقب انجام شود ، سرعت منفی است و يا می توان گفت اگر با گذشت زمان فاصله تا مبدا کاهش يابد سرعت منفی است .

نکته ۹ - در حرکتی که اندازه سرعت کاهش يابد شتاب منفی است .

نکته ۱۰ - اگر اندازه شتاب صفر باشد سرعت ثابت می ماند .

نکته ۱۱ - شيب خط مماس بر نمودار مکان - زمان اندازه سرعت در آن لحظه را نشان می دهد .

نکته ۱۲ - شيب خط مماس بر نمودار سرعت - زمان اندازه شتاب در آن لحظه را نشان می دهد .

نکته ۱۳ - اگر نمودار مکان - زمان سهمی ( درجه دوم ) باشد شتاب ثابت است . اگر نمودار دارای ماکسيمم باشد شتاب منفی و در صورتی که دارای مينيمم باشد شتاب مثبت است .

نکته ۱۴ - اگر سرعت و شتاب هم علامت باشند حرکت را تند شونده و در صورتی که مختلف العلامه باشند حرکت را کند شونده می ناميم .

نکته ۱۵ - سطح زير نمودار سرعت  - زمان برابر جابجايی است .

نکته ۱۶ - سطح زير نمودار شتاب - زمان برابر تغيير سرعت می باشد .

نکته ۱۷ -  سطوح زير محور زمان بايد منفی در نظر گرفته شوند .

نکته ۱۸ - اگر دو متحرک از يک نقطه حرکت کنند و پس از مدتی به هم برسند ، جابجايی آنها در اين مدت برابر بوده است .

نکته ۱۹ - اگر دو متحرک از يک نقطه حرکت نکنند ولی پس از مدتی به يکديگر برسند ، مکان آنها در آن لحظه يکی است . پس برای پيدا کردن مجهول می توان معادله حرکت دو متحرک را در يک دستگاه مختصات نوشت و آنها را مساوی قرار داد .

x_A=x_B

نکته ۲۰ - اگر دو متحرک در يک لحظه با هم حرکت نکرده باشند و متحرک دوم به اندازه T تاخير داشته باشد . برای محاسبه مجهول ابتدا معادله حرکت اول را بر حسب t₁ نوشته و با معادله حرکت متحرک دوم که بر حسب t₂ نوشته شده است مساوی قرار می دهيم و در مرحله بعد بجای t₂ مقدار t₁-T قرار می دهيم .

نکته ۲۱ - حرکتهايی که در امتداد قائم  تحت تاثير جاذبه زمين در شرايط خلا  انجام می شوند سقوط آزاد نام دارند .

نکته ۲۲ - در سقوط آزاد اندازه شتاب همواره ثابت و برابر  g است .

نکته ۲۳ - در سقوط آزاد شتاب  همواره  منفی است .

نکته ۲۴ - در سقوط آزاد ، بهتر است نقطه شروع حرکت را مبدا در نظر بگيريم . پس فواصل بالای آن مثبت و فواصل زير آن را منفی در نظر گرفته می شوند .

نکته ۲۵ - در سقوط آزاد ، حرکت به طرف بالا دارای سرعت مثبت و حرکت به طرف پايين دارای سرعت منفی هستند .

3

سؤالات حل شده 

 

۱ – شخصي ۲ دقيقه با سرعت m/s ۵ و ۳ دقيقه با سرعت m/s ۲  دويده است. سرعت متوسط اين شخص را حساب کنيد.

 

t1 = 3*60 = 180s v1 = 2 m/s

{

t1 = 2*60 =120s v1 = 5 m/s

{

 

x₁ = v₁t₁ = 5*120 = 600m

x₂ = v₂t₂ = 2*180 = 360m

 

= 3/2 m/s	600 + 360	=	x1+x2	Þ   v¯ =	کل مسافت طي شده	v¯ =
	120 + 180		t1+t2		کل زماني که در آن جابجايي انجام شده

 

۲ – نمودار سرعت زمان متحرکهاي A  و B به صورت زير است. اگر شتاب متحرک A  ۱M/S  باشد.

الف ) زمان T را که سرعت دو متحرک مساوي شده است به دست آوريد.

ب ) شتاب متحرک B را محاسبه کنيد.

ج) در چه فاصله زماني فاصله دو متحرک از مبدأ مساوي است.

 

30 ¬ 10 ¬

 

a_A = 1 m/s²          v₀ =15m/s

الف ) a_A = ^Δv/_Δt = ^{v - v0}

ب ) a_B  = Δv/Δt = ^{v - v0} /  _{t - t0} Þ  1 = ^{30 -0}/ _15-0  Þ  t=2m/s²

ج ) x_A = x_B  Þ   1/2 a_At² + v_0At = 1/2a_Bt² + v_0Bt

Þ  1/2*1*t² + 15^t = 1/2*2 *t²

Þ  1/2t² + 15t = t² Þ  t =30s

۳ – از بالاي ساختماني جسمي را بدون سرعت اوليه رها مي کنيم.

سرعت آن هنگام رسيدن به زمين 20 m/s  مي رسد.

الف ) ارتفاع ساختمان را به دست آوريد.

ب ) سرعت متوسط جسم در اين حرکت چقدر است.

ج) در چه زماني جسم نصف مسير را طي کرده است و سرعت آن در اين نقطه چقدر است؟

پاسخ: حرکت سقوط آزاد است.

V₀ = 0         V=20 m/s          g = 10 m/s²

الف) v²-v₀²= 2gh

  20² – 0 = 2 ´ 10 ´ h  Þ  h = 20 m

ب )  v¯ = v + v0 / 2 = 20 + 0 / 2   Þ     v¯ = 10m/s

ج ) h´ = h/2 = 20/2  Þ   h´ = 10

 h´ = 1/2 gt² + v₀t

 10 = 1/2*10*t² Þ  t² = 2   Þ  t=√2s

 v´ = gt + v₀ = 10*√2 m/s

4

سوالات کنکور سينماتيک

۱- متحرکی با شتاب ثابت بر مسيری مستقيم در حرکت است. اگر سرعت اين متحرک در مدت ۱۵ دقيقه از ۶۰ کيلومتر بر ساعت به ۱۴۰ کيلومتر بر ساعت برسد . متحرک در اين مدت چند کيلومتر  پيموده است        (۷۸ ت )

۱)۱۵           √ ۲)۲۵            ۳ )۳۵              ۴)۵۰

۲-از بالای برجی به ارتفاع h گلوله ای بدون سرعت اوليه رها می شود.در همان لحظه گلوله ديگری با سرعت اوليه ۲۰ متر بر ثانيه از زمين در همان راستا ی قائم که گلوله اولی سقوط می کند به طرف بالا پرتاب می شود . اگر دو گلوله پس از ۲۵/۱ ثانيه از مقابل يکديگر عبور کنند h چند متر است؟   (۷۸ ت )

۱)۱۲/۵             √ ۲)۲۵             ۳)۵۰            ۴)۷۵

۳- دوچرخه سواری فاصله ۹۰ کيلومتری مستقيم بين دو شهر را در مدت ۵/۴ ساعت می پيمايد. وی با سرعت ثابت ۲۴ کيلومتر بر ساعت رکاب می زند اما برای رفع خستگی توقف هايی هم دارد . مدت توقف او چند دقيقه است؟  ( ۷۸ ر)

۱) ۸۰               √۲)۴۵               ۳)۳۰               ۴)۱۵

۴- در يک حرکت با شتاب ثابت و بدون سرعت اوليه بر مسيری مستقيم.....( ۷۹ر)

     ۱)سرعت متحرک ثابت است

     ۲)شتاب حرکت با زمان زياد می شود

     ۳)مسافت طی شده با زمان متناسب است

     √۴)مسافت طی شده با مجذور زمان متناسب است

۵-جسمی با سرعت ثابت در حرکت است. اگر اين جسم در لحظه ۴=t ثانيه در فاصله ۲۲+متری مبدا مکان و ۲ ثانيه بعددر فاصله ۳۴ + متری آن مبدا باشد سرعت جسم چند متر بر ثانيه است؟  (۷۹ ت )

۱)۱/۲              ۲)۴               ۳)۵/۶             √۴)۶

۶-گلوله A را در شرائط خلا از ارتفاع h بدون سرعت اوليه رها می کنيم . سه ثانيه بعد گلوله B را از ارتفاع ۴/h بدون سرعت اوليه رها می کنيم. سرعت گلوله Aدر لحظه رسيدن به زمين چند برابر سرعت گلوله B است؟  ( ۷۹ ت  )

۱)۱                ۲)۲/۳              √۳)۲              ۴)۹/۴

۷-معادله حرکت متحرکی در SI بصورت x=t²+t است. کدام گزينه زير برای

نوع حرکت جسم درست است؟(۷۹ ت)

     ۱)معادله الزاما از نظر ابعاد غلط است.

     ۲)حرکت نه يکنواخت و نه با شتاب ثابت است.

     ۳)شتاب حرکت وسرعت اوليه به ترتيب در SI و،  ۵/۰ و ۱  است.

     √۴)شتاب حرکت و سرعت اوليه درSI به ترتيب ۲  و  ۱  است.

۸-گلوله ای از ارتفاع h با سرعت اوليه ۱۰ متر بر ثانيه در راستای قائم به بالا پرتاب می شود . اين گلوله ۵ ثانيه پس از پرتاب به سطح زمين می رسد. ارتفاعh چند متر است؟

 (۸۰ ت)

  ۱)۶۵                ۲)۷۰                 √۳)۷۵               ۴)۸۰

۹-متحرکی با سرعت اوليه ۴ متر بر ثانيه و با شتاب ثابت ۲متر بر مجذور ثانيه در يک مسير مستقيم ۱۲ متر جابجا می شود . سرعت متوسط در اين جابجايی چند متر بر ثانيه است؟

 (۸۰ ر )

  √۱)۶                     ۲)۸                    ۳)۱۰                ۴)۱۲

۱۰-متحرکی در يک مسير مستقيم حرکت می کند. اين متحرک دارای ۶=.V و۴=a در SIاست. سرعت متوسط متحرک در دو ثانيه اول چند متر بر ثانيه است؟ (۸۱ ت)

  ۱)۸                   √۲)۱۰                  ۳)۱۲                  ۴)۱۴

۱۱- جسمی را در شرايط خلا از يک بلندی رها می کنيم . بطوری که با سرعت ۳۰ متر بر ثانيه به زمين بر خورد می کند. ارتفاع بلندی چند متر است؟ (۸۱ ت )

  √۱)۴۵                  ۲)۳۰                   ۳)۴/۵                  ۴)۳

۱۲-معادله مکان متحرکی در SI بصورتx=-t²+4t+20 است . حرکت آن از

 t=0 تا t=8 ثانيه چگونه است؟  (۸۱ت)

     √۱)ابتدا کند و سپس تند شونده

     ۲)ابتدا  تند و سپس کند شونده

     ۳)پيوسته تند شونده

     ۴)پيوسته کند شونده

۱۳-از ارتفاع ۵۰ متری سطح زمين گلوله ای را در شرايط خلا با سرعت اوليه ۱۵ متر بر ثانيه به سمت پايين پرتاب می کنيم . سرعت گلو له در لحظه بر خورد به زمين چند متر بر ثانيه است؟(۸۱ ر )

  ۱)۳۰                √۲)۳۵                 ۳)۴۰                ۴)۴۵

۱۴-سرعت ذره ای درSI در t=0 برابرv₁=3i+2j و در t=2 s برابر v₂=9i-6j

است . بردار شتاب متوسط ذره در اين مدت کدام است ؟ (۸۱ ر)

     1)6i-8j

    √2)3i-4j

     3)8j-6i

     4)4j-3i

۱۵-دو گلوله از يک نقطه با سرعت اوليه برابر با اختلاف زمانی  ۱  ثانيه در راستای قائم رو به بالا پرتاب می شوند . فاصله نقطه ای که گلوله ها از کنار هم می گذرند تا بالاترين نقطه ای که گلوله ها به آنجا می رسند چند متر است؟ (۸۲ ر)

 √۱)۱/۲۵               ۲)۲/۵                ۳)۳/۷۵              ۴)۵ 

 ۱۶-سرعت اوليه گلوله ای را که در راستای قائم رو به بالا پرتاب می شود چند برابر کنيم تا ارتفاع اوج آن دو برابر شود؟(۸۲ ر )

  ۱)۲                   ۲)۴                  √۳)Γ۲               

   ۴)۲Γ۲

۱۷-معادله مکان متحرکی در SI بصورت  x=-5t²+6t+12 است. در مورد

جهت حرکت و نوع آن کدام مطلب صحيح است؟ (۸۳ ت )

      ۱)همواره در جهت محور و کند شونده

      √۲)ابتدا در جهت محور و کند شونده

      ۳)ابتدا خلاف جهت محور و کند شونده

      ۴)همواره در خلاف جهت محور و کند شونده

۱۸-بردارهای مکان ذره متحرک M در دو لحظه t₁=5 s و t₂=8 s  در SI به

ترتيب r₁=3i+6j و r₂=15i-3j  هستند. بزرگی سرعت متوسط ذره بين دو

لحظه مزبور چند متر بر ثانيه است؟ (۸۳ ت )

 ۱)۱۵            ۲)۳              √۳)۵             ۴)۸

۱۹-گلوله کوچکی از ارتفاع h بدون سرعت اوليه رها می شود و ۸۰ متر آخر سقوط را در مدت ۲ ثانيه می پيمايد. ارتفاع h  چند متر است؟ (۸۳ ت )

  √۱)۱۲۵              ۲)۱۵۰              ۳)۱۶۰             ۴)۲۵۰

۲۰-دریک مسيرمستقيم اتومبيلی باسرعت ۲۰m/s درحرکت است.از۳۶مترجلوتراتومبيل ديگری باشتاب ثابت۲۰m/s² ازحال سکون درهمان جهت به

راه می افتد.دراين حرکت اتومبيل هادو بار از هم سبقت می گيرند.فاصله زمانی اين دو سبقت چند ثانيه است؟(۸۳ ر )

    ۱)۲                 ۲)۱۰                √ ۳)۱۶              ۴)۱۸

۲۱-دو گلوله به فاصله زمانی يک ثانيه از نقطه ای به ارتفاع h درخلا رها می شوند . اگر بيشترين فاصله آنها ۴۵ متر شود. h  چند متر است؟ (۸۳ ر )

  ۱)۸۰           ۲)۱۱۰              √۳)۱۲۵            ۴)۱۴۵

۲۲-مکان متحرکی که در يک صفحه حرکت می کند در SI بصورت            r=(1/3t³+2/3)i+t²j است. در لحظه ای که اندازه شتاب متحرک ۲Γ۲

است. اندازه بردار مکان چند متر است؟ (۸۴ ت )

 ۱)۲                      √۲)Γ۲

 ۳)۸                      ۴)۴Γ۲ 

۲۳-گلوله ای در شرايط خلا بدون سرعت اوليه از ارتفاعی رها می شود و در ثانيه اول مسافتی به اندازه x₁ و در ثانيه دوم مسافت x₂ را طی می

کند.نسبت x₂/x₁ کدام است؟ (۸۴  ت )

  ۱)۲             √ ۲)۳               ۳)۴               ۴)Γ۲

۲۴-در جابجايی از مکان r₁=i+2j به مکان r₂=-3i+6j سرعت متوسط متحرک

 v=-i+j است . زمان اين جابجايی چند ثانيه است؟ (۸۴ ت )

  ۱)۲               ۲(۳              √۳)۴             ۴)۶

۲۵-معادله های حرکت در SI برای خودروی A در يک صفحه x_A=4t و y_A=bt

و برای خودروی Bدر همان صفحه x=at² و y_B=6 می باشد.اگر دو خودرو با

يکديگر برخورد کنند نسبت b/a کدام است؟ (۸۴  ر)

  ۱)۲/۳           √ ۲)۳/۲            ۳)۳/۴           ۴)۴/۳ 

۲۶- گلوله ای را در شرايط خلا با سرعت اوليه ۴۰ متر بر ثانيه در راستای قائم رو به بالا پرتاب می کنيم . سرعت گلوله در نيمه راه خود تا رسيدن به نقطه اوج چند متر بر ثانيه است ؟ ( ۸۵  ت )

   ۱) ۲۰                   √ ۲) ۲۰Γ۲

   ۳)۲۵                       ۴) ۱۰Γ۲

۲۷- معادله حرکت متحرکی در SI  بصورت   r = (t³+4t)i + 2t²j است .

بردار شتاب متوسط در بازه زمانی صفر تا ۲ ثانيه کدام است ؟ ( ۸۵ ت )

  ۱) 3i+2j

  2) 12i+8j

√ 3) 6i+4j

  4) 4i+2j

۲۷- ذره ای  در SI روی خط y = 3x+1   با سرعت ثابت Γ۱۰ متر بر ثانيه در حركت است . بردار سرعت آن كدام است ؟ ( ۸۵ ر )

 √ ۱) v = i+3j

    2) v = 2i+5j

    3) v = 3i+j

    4) v = 5i+2j

۲۸- شخصی از ارتفاع ۱۷ متری زمين روی بالشی به ضخامت ۲ متر سقوط آزاد می کند و مقاومت هوا ناچيز است . اگر در اين بر خورد حد اقل ضخامت بالش به ۵/. متر برسد . اندازه شتاب شخص بعد از رسيدن به بالش تا انتهای مسير رو به پايين چند g است ؟ ( ۸۵ ر )

  ۱) ۱/.            √ ۲) ۲/.          ۳) ۳/.            ۴)۴/. 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

حرکت پرتابه ای مختص رشته ی ریاضی مدرس : دکتر بختیاری

-------------------------------------------

سوالات حرکت پرتابی

۱-جسمی در شرايط خلا در راستائی که با افق زاويه  ۶۰ درحه می سازد پرتاب می شود . حداقل انرژی جنبشی جسم در طول مسير چند برابر انرژی جنبشی اوليه می باشد؟ (۷۸)

 ۱)۱/۴                 ۲)۱/۲                  ۳)۲                  ۴)۴

۲-از يک بلندی به ارتفاع ۲۰ متر گلوله ای با سرعت اوليه .V تحت زاويه ۳۷ درجه نسبت به افق به طرف بالا پرتاب شده و در برگشت به زمين برخورد می کند. اگر زمان کل حرکت ۴ ثانيه باشد .V چند متر بر ثانيه است؟(۷۸)

۱)۲۰                  ۲)۲۵                   ۳)۳۵                ۴)۱۲۵/۳

۳-از لبه يک بلندی به ارتفاع h پرتابه ای با سرعت افقی .v پرتاب می شود و پس از ۵ ثانيه به زمين می رسد .اگر سرعت پرتابه دو برابر شود ، چند ثانيه طول می کشد تا  پرتابه به زمين برسد؟ ( ۷۹ )

 ۱)۲/۵            √  ۲)۵                 ۳)۳                 ۴)۱۰

۴-جسمی به وزن ۵ نيوتن در راستايی که با افق زاويه ۶۰ درجه می سازد با سرعت اوليه ۲۰ m/s به بالا پرتاب می شود . حداقل انرژی جنبشی آن در طول مسير چند ژول است؟ ( ۸۰ )

   ۱)۶/۲۵              ۲)۱۲/۵            √ ۳)۲۵              ۴)۵۰

۵-گلوله ای را از سطح زمين در راستايی که با سطح افق زاويه θ می سازد پرتاب می کنيم . اگر با ثابت ماندن سرعت اوليه زاويه θ را کمی زياد کنيم طول برد گلوله چگونه تغيير می کند؟   ( ۸۰ )

 ۱)افزايش می یابد     ۲)کاهش می يابد

 ۳)ثابت می ماند    √ ۴)بسته به شرايط همه گزينه ها ميتواتد درست باشد  

۶-سرعت اوليه گلوله ای که در شرايط خلا از سطح زمين پرتاب می شود ۳۰m/s و سرعت آن در نقطه اوج ۱۰m/s است. ارتفاع اوج چند متر است؟ (۸۱ )

 ۱) ۲۰               ۲)۳۰              √ ۳)۴۰             ۴)۵۰

۷-از لبه يک بلندی پرتابه ای با سرعت ۸m/sدر شرايط خلا و در راستای افقی پرتاب می شود چند ثانيه پس از پرتاب سرعت آن به ۱۰m/s می رسد؟ (۸۲ )

  ۱)۰/۲            ۲)۰/۳            ۳)۰/۵           √ ۴)۰/۶

۸-اگر برد و ارتفاع اوج پرتابه ای که از سطح زمين پرتاب شده  به ترتيب ۶۰ و ۱۵ متر باشد . زاويه پرتاب آن نسبت به افق چنددرجه است ؟ ( ۸۳ )

   ۱)۳۰            √ ۲)۴۵            ۳)۶۰           ۴)Arctg16  

۹-معادله مسيرپرتابه ای در SI بصورت y=-2x²+20x می باشد ،هر گاه پرتابه از سطح زمين به طرف بالا پرتاب شود . ارتفاع اوج پرتابه چند متر است؟ (۸۴ )

 √ ۱)۵۰            ۲)۷۵              ۳)۱۰۰              ۴)۱۲۵

۱۰- گلوله ای از سطح زمين تحت زاويه Θ و با سرعت اوليه ν رو به بالا پرتاب شده و در بر گشت روی تپه ای بالا تر از نقطه پرتاب سقوط کرده است . اگر مقاومت هوا ناچيز بوده و بيشترين و کمترين مقدار سرعت آن در اين مسير ۱۰۰و ۵۰ متر بر ثانيه باشد . ν چند متر بر ثانيه و Θ چند راديان است ؟ ( ۸۵  )

   ۱) ۵۰  و Π/۳

 √ ۲) ۱۰۰ و Π/۳

   ۳)۱۰۰ و Π/۶

   ۴) ۲۰۰ و Π/۶

   بخش دوم

                                        ديناميک

                             مدرس : دکتر بختیاری

نيرو

نيرو عاملي است که سبب تغيير شکل يا تغيير در اندازه حرکت اجسام مي شود. نيرو يک کميت برداري است يعني اندازه و جهت دارد و يکاي آن در سيستم SI نيوتون است. هرگاه بخواهيم جسمي را برانيم يا بکشيم به آن نيرو وارد کنيم. نيرو بر هم کنش دو جسم بر يکديگر است. تأثير دو جسم بر هم ممکن است ناشي از تماس دو جسم باشد و يا دو جسم از راه دور بر يکديگر نيرو وارد کنند.

بزرگي نيرو را مي توان با نيرو سنج اندازه گرفت. به شکل نيرو سنج زير توجه کنيد. هر قدر نيروي وارد بر فنر بزرگتر باشد، فنر بيشتر کشيده مي شود.

نيروسنج

F = KX

F نيرو بر حسب نيوتون، X تغيير طول فنر بر حسب متر و K ثابت فنر به حسب نيوتن بر فنر مي باشد.

قانونهاي حرکت

1– قانون اول نيوتن (قانون لختي):

يک جسم حالت سکون و يا حرکت يکنواخت روي خط راست خود را حفظ مي کند، مگر آن که تحت تأثير نيرويي، مجبور به تغيير آن حالت شود.

از اين قانون نتيجه مي شود که اگر به جسمي نيرو وارد نشود چنانچه ساکن باشد، ساکن مي ماند و اگر در حرکت باشد به حرکت خود با سرعت ثابت ادامه مي دهد. به اين ترتيب اجسام تمايل دارند حالت سکون يا حرکت يکنواخت بر خط راست خود را حفظ کنند. به اين تمايل اجسام لختي گفته مي شود.

۲ – قانون دوم نيوتون:

هرگاه به جسمي نيرويي از خارج وارد شود، جسم در جهت آن نيرو شتابي مي گيرد که اندازه شتاب حاصل با نيرو نسبت مستقيم و با جرم جسم نسبت وارون دارد. اين قانون به صورت زير پان مي شود.

a=  F/M

F = m.a

F نيرو بر حسب نيوتون m جرم بر حسب کيلوگرم و a شتاب بر حسب متر بر مجذور ثانيه مي باشد.

از اين رابطه نيوتون (n) واحد نيرو به اين صورت تعريف مي شود که يک نيوتن نيرويي است که اگر به جسمي به جرم يک کيلوگرم وارد شود به آن شتابي برابر يک متر بر مجذور ثانيه بدهد.

۳ – قانون سوم نيوتون (اصل کنش و واکنش):

هرگاه از طرف جسمي به جسم ديگر نيرويي وارد شود از طرف جسم دوم نيز نيرويي به همان اندازه و در خلاف جهت بر جسم اول وارد مي شود. اگر نيرويي را که جسم اول به جسم دوم وارد مي کند نيروي کنش (عمل) بناميم، نيروي جسم دوم که به جسم اول وارد مي شود نيروي واکنش (عکس العمل) خواهد بود.

F12 = -F21

معرفي نيروها

ديديم که نيرو عامل ايجاد شتاب و در نتيجه، عامل تغيير در سرعت جسم است. بنابراين براي بررسي حرکت يک جسم بايد نيروهاي وارد بر آن را مشخص و اندازه گيري کنيم. اکنون به معرفي چند نيرو و چگونگي اندازه گيري آنها (به کمک قوانين نيرو) مي پردازيم.

۱ – نيروي گرانشي ميان دو جسم:

بنا به قانون گرانشي نيوتون هر دو جرم همواره يکديگر را مي ربايند. بيان اين قانون به صورت زير است:

«نيروي گرانشي ميان دو ذره با حاصل ضرب جرم دو ذره نسبت مستقيم و با مجذور فاصله آنها از يکديگر نسبت وارون دارد.»

در اين رابطه G ثابت جهاني گرانش است و مقدار آن در دستگاه SI برابر است با:

G = 6/67 ´ 10 ^-11    N.M²/Kg ²

نيروي گرانشي ميان جسمهاي با جرم کوچک، قابل ملاحظه نيست.

۲ – نيروي وزن:

نيروي وزن ناشي از اثر جاذبه زمين به اجسام است. مقدار نيروي وزن متناسب با جرم جسم است.

F´ m

در سقوط آزاد ديديد که شتاب گرانشي براي تمام اجسام يکسان و برابر g است ( g=a) در نتيجه f=mg و اگر نيروي وزن را با نماد w نشان دهيم:                                      

w=mg

 ۳ – نيروي عمودي تکيه گاه:

تمام جسمها تحت تأثير نيروي گرانش به طرف زمين کشيده مي شوند. وقتي جسمي بر روي ميز يا تکيه گاهي باشد از طرف تکيه گاه نيرويي برابر نيروي وزن جسم رو به بالا بر جسم وارد مي شود. در اين صورت بر آينه نيروهاي وارد بر جسم صفر مي شود و جسم به حالت تعادل و سکون روي ميز، يا تکيه گاه قرار مي گيرد.

«نيرويي که از طرف تکيه گاه رو به بالا بر جسم اثر مي کند را نيروي عمومي تکيه گاه مي گويند.»

N=W

۴ – نيروي اصطکاک:

نيروي مقاومتي است که در مقابل حرکت اجسام پديد مي آيد. اين نيرو همواره در خلاف جهت حرکت است و براي آنکه جسم شروع به حرکت کند بايد توسط يک نيروي بزرگتر بر نيروي اصطکاک غلبه کند.

الف – نيروي اصطکاک ايستايي:

جسمي را در نظر بگيريد که روي يک سطح افقي به حال سکون است. به جسم نيروي افقي F را وارد مي کنيم. اگر جسم حرکت نکند يعني به حال سکون باقي بماند مي توان گفت که برآيند نيروهاي وارد بر آن صفر است. پس بايد نيرويي به اندازه وي F_S   وجود داشته باشد که نيروي F را خنثي کند. به اين نيرو، نيروي اصطکاک «ايستايي» مي گوييم.

F = f_s

اگر نيروي F را بزرگتر کنيم به طوري که جسم در آستانه حرکت قرار گيرد. در اين حالت به F_S و نيروي اصطکاک در آستانه حرکت گفته مي شود و با F_smax  نشان داده مي شود و N نيروي عمودي تکيه گاه و ms  ضريب اصطکاک ايستايي مي باشد.

F _{s max} =ms .N

ب – نيروي اصطکاک جنبشي:

هرگاه جسم جامدي روي سطح جسم جامد ديگري حرکت کند، نيرويي موازي سطح تماس به هر يک از دو جسم از طرف جسم ديگر، وارد مي شود که نيروي اصطکاک جنبشي نام دارد. جهت نيروي اصطکاک جنبشي در خلاف جهت حرکت جسم است و مقدار آن طبق رابطه زير است.

F _K =m_K .N

N نيروي عمودي تکيه گاه و m_K ضريب اصطکاک ايستايي مي باشد.

استفاده از قوانين نيوتون درباره حرکت (حل مسأله)

براي حل مسأله ابتدا به کمک قانونهاي نيرو، نيروهاي وارد بر جسم را محاسبه مي کنيم. سپس به کمک قانونهاي نيوتن شتاب حرکت جسم را به دست مي آوريم. آنگاه با استفاده از معادله هاي حرکت، مجهولهاي مسأله را محاسبه مي کنيم. براي راحت تر حل کردن مسأله نکات زير را رعايت کنيد.

1– شکل ساده اي از جسم و تکيه گاه رسم کنيد.

2– نيروهاي وارد بر جسم را مشخص کنيد.

3– برآيند اين نيروها را محاسبه کنيد.

4– با استفاده از قانون دوم نيوتون شتاب حرکت را به دست آوريد.

5 – با استفاده از معادله هاي حرکت مجهولهاي مسأله را حساب کنيد.

6

نکات مهم ديناميک

نکته ۱ -اگر بر آيند نيروهای وارد بر جسمی صفر باشد ،سرعت آن جسم ثابت می ماند ( قانون اول نيوتن )

نکته ۲ - اگر بر جسمی نيرو وارد شود آن جسم شتابی پيدا می کند که با جرم جسم رابطه معکوس و با اندازه نيرو رابطه مستقيم دارد .(قانون دوم )

                                                           ΣF=Σma

نکته ۳ - هرگاه دو جسم بر هم اثر کنند ، نيرويی که جسم اول بر دوم وارد می کند مساوی و خلاف جهت نيرويی است که جسم دوم بر اول وارد می کند . (قانون سوم )  

                                                           F₁₂= -F₂₁

نکته ۴ - در رابطه  F=ma  هميشه بايد برآيند نيروها را بجای F قرار دهيم .

نکته ۵ - نيروی اصطکاک هميشه خلاف جهت حرکت است .

نکته ۶ - اگر بر جسم نيرويی وارد می شود که با جهت حرکت جسم همراستا  نیست در اينصورت بايد نيرو را به دو مولفه تجزيه نمود .

نکته ۷ - در هنگام تجزيه نيروها بهتر است يکی از محورها را راستای حرکت و ديگری را عمود بر آن انتخاب کنيم .

نکته ۸ - تصوير ( مولفه ) هر بردار روی يک محور برابراست با حاصلضرب اندازه آن بردار در cosθ که θ زاويه ميان آن محور و  بردار است .

نکته ۹ - در هنگام استفاده از قانون دوم نيوتن بهتر است جهت حرکت را مثبت در نظر بگيريم . پس ابتدا نيروهايی که باعث حرکت می شوند را می نويسيم و سپس نيروهای مزاحم را از آن کم ميکنيم و حاصل را مساوی ma قرار می دهيم .

نکته ۱۰ -در سطح شيبدار نيروی وزن به دو مولفه mgsinθ و mgcosθ تجزيه می شود که اولی در امتداد سطح و دومی عمود بر سطح می باشد .( θ زاويه ميان سطح شيبدار باسطح افق است )

نکته ۱۱- نيروی اصطکاک هميشه مزاحم حرکت است پس منفی می باشد . اندازه نيروی اصطکاک برابر حاصلضرب نيروی عکس العمل سطح (  N  ) در ضريب اصطکاک است .

                                                       f_k=μ_k.N

نکته ۱۲ - نيروی عکس العمل سطح ( N  ) در سطح افقی با وزن جسم برابر است ولی در سطح شيبدار با mgcosθ برابر است .پس نيروی اصطکاک لغزشی برابر است با:

                    سطح افقی                               f_k=μ_kmg

                    سطح شيبدار                       f_k=μ_kmgcosθ

نکته ۱۳ - هرگاه چند جسم را با نخ يا ميله و يا فنر به هم متصل کنيم به آن دستگاه می گوييم .

نکته ۱۴ - در يک دستگاه اگر نخ يا ميله  و يا  فنر بدون جرم باشند نيروی کشش در تمام نقاط آنها يکسان است .

نکته ۱۵ - در يک دستگاه به تعداد جسمها بايد قانون دوم را بنويسم و آنها را با هم حل کنيم . در هر مورد ابتدا نيروی محرک و سپس نيروی مقاوم را با علامت منفی می نويسيم .

نکته ۱۶- در يک دستگاه اگر معادلات صحيح نوشته شده باشند با جمع آنها بايد بتوان کشش  نخها ( T ) را حذف نمود .

نکته ۱۷ - در حرکت دايره ای يکنواخت ( اندازه سرعت ثابت ) اندازه شتاب برابر مجذور سرعت بر شعاع است .

                                                                a=v²/r

نکته ۱۸ - شتاب در حرکت دايره ای همواره در امتداد شعاع و رو به خارج از دايره است .

نکته ۱۹ - هرگاه جسمی در تعادل باشد برآيند نيروهای وارد بر آن صفر است .يعنی نيروها در يک امتداد دو به دو همديگر را خنثی می کنند .

7

سؤالات حل شده

1 – جسمي به جرم 15 کيلوگرم به وسيله نيروي 80 تني که با افق زاويه 60 درجه مي سازد و با شتاب ثابت 2 m/s  کشيده مي شود. نيروي اصطکاک سطح را محاسبه کنيد.

پاسخ:

نيروي محرکه افقي که در جسم اثر مي کند، مؤلفه افقي نيرويf  مي باشد (fx)

Fx = fcox = f cos 60 = 80×¹/₂ = 40 N

Fx – F = ma

40 – f=15 × 2 = f = 10 N

2 – نيروي کشش نخ اتصال دو وزنه A ، B در شکل زير برابر 15 نيوتن و نيروي اصطکاک بين وزنه B و سطح افق 9 نيوتن است.

الف) شتاب دستگاه

ب) نيروي اصطکاک وزنه A با سطح افق را محاسبه کنيد.

اطلاعات مسأله:

MA = 6 Kg

MB = 4 Kg

g = 10 m/s2 

T = 15 N

FK = 9 N

پاسخ:

الف) T – f_K=m_B a

15- 9 = 4 a   Þ  a = 1/5 m/s²

ب) M_Ag sin 30 – T – f´_k =M_A a

(60× 10 × ½) – 15 – f´_k = 6×1/5 Þ  f´_k= 6 N

3 – نيروي افقي F = 150 N بر جسمي به شکل مکعب و به جرم   Kg 50  وارد مي شود. اگر نيروي اصطکاک 2/. نيروي وزن جسم باشد و جسم از حال سکون شروع به حرکت کند.

الف) شتاب حرکت

ب ) سرعت پس از گذشت 3 ثانيه

ج) مسافتي که پس از 3 ثانيه طي مي کند را محاسبه کنيد.

الف) w = mg = 50 × 10 = 500 N

F = ./2 × 500 = 100 N

F – f = ma

150- 100 = 50a Þ   a = 1 m/s2

ب) V = at + v. = 1× 3+ 0 = 3 m/s

ج) x = ½ at² + v₀t = ½ ×1× 3² Þ   x = 4/5 m

4 - در شکل جسم m1= 8 kg روي سطح افقي به ضريب اصطکاک   µ= ./4 قرار دارد.

الف) نيروي اصطکاک سطح افقي را محاسبه کنيد.

ب) شتاب حرکت دستگاه را به دست آوريد.

ج) نيروي کشش ريسمان را محاسبه کنيد.

الف) f_k = µ N

N = W = mg = 8 x 10 = 80 Þ   f_k = ./4 x 80 = 32 N

ب) m2g – f _k = (m1+m2) a

5 x 10-32=(8+5)a Þ  a= 1/38 m/s2

ج) T – f_k = m₁ a

T – 32 = 8 x 1/38  Þ   T = 43 N

5 - در شکل زير اگر دستگاه با شتاب m/s2 8/. حرکت کند.

الف) ضريب اصطکاک سطح افقي

ب) نيروي کشش نخ را به دست آوريد.

(g =10 m/s2)

پاسخ:

µ = ./15 , T = 9/2 N

6 – در شکل زير نيروي اصطکاک سطح 8 N مي باشد.

الف) شتاب حرکت

ب) نيروي کشش نخ

ج) سرعت حرکت وزنه را پس از 2 ثانيه به دست آوريد.

7 – آسانسور 1000 کيلوگرمي با کابلي که به بالاي آن وصل است بالا و پايين مي رود. مطلوب است نيروي رو به بالايي که بر کابل وارد مي شود وقتي آسانسور

الف) با شتاب ثابت 15m/s2 به طرف بالا شروع به حرکت مي کند.

ب) با سرعت ثابت بالا مي رود.

ج) با شتاب 15m/s2 به طرف پايين حرکت مي کند.

پاسخ – الف) 11500N  و    ب ) 10000 N و   ج)  8500  N

8 - نيروي افقي F= 1000 N بر اتومبيل به جرمKg  500 وارد مي شود و اتومبيل از حال سکون شروع به  حرکت مي کند. اگر نيروي اصطکاک 1/0 نيروي وزن اتومبيل باشد.

الف) اتومبيل در اثر اين نيرو چه شتابي مي گيرد؟

ب) چه زماني لازم است تا مسافت 1250 متر را طي کند؟

پاسخ:                                                     m/s²  1(الف      و      s 50 ( ب

9 – با توجه به شکل، اگر نيروي اصطکاک هر دو جسم با سطح 2/0 وزن آنها باشد، جسم B چند نيوتون نيرو به A وارد مي کند، دستگاه چه شتابي در اثر اين نيرو مي گيرد. (m/s10 =g)

پاسخ: 18 N  و  a=1m/s2

10 – به يک طناب جسمي به جرم 10 کيلوگرم را متصل مي کنيم. اگر طناب بتواند تا 500 نيوتن را تحمل کند، حداکثر شتابي که جسم مي تواند رو به بالا بگيرد چند متر بر مجذور ثانيه است؟ (m/s10 = g)

پاسخ: 40

8

سوالات کنکور ديناميک

۱-جسمی با سرعت اوليه v.= 8 m/s از پايين يک سطح شيبدار به زاويه ۴۵ درجه و بطرف بالای سطح می لغزد و بعد از رسيدن به سرعت صفر به طرف پايين سطح بر می گردد. اگر سرعت آن در هنگام رسيدن به مبدا پرتاب  4 m/s باشد. ضريب اصطکاک لغزشی کدام است؟   (۷۹ ر) 

 √ ۱)۰/۶                    ۲)۰/۳Γ۲ 

    ۳)۰/۳                   ۴)۳Γ۲/۵

۲-برآيند نيروهای وارد بر يک جسم متحرک ، در يک مدت معين صفر است . الزاما در آن مدت :   ( ۸۰  ر )

  ۱)اندازه حرکت آن صفر است

  ۲)انرژی پتانسيل آن صفر است

  ۳)انرژی مکانيکی آن ثابت می ماند

√ ۴) اندازه حرکت آن ثابت می ماند

۳-اگر  f₁+f₂+f₃=0 و بزرگی هر سه بردار برابر ۱۰نيوتن باشد. در اينصورت اf₁+f₂-f₃ ا چند نيوتن است؟ (۸۱ ت )

  ۱)صفر         ۲)۱۰          √ ۳)۲۰            ۳)۳۰

۴-اتومبيلی به جرم ۴ تن با سرعت ۲۰m/s روی سطح افقی در مسير مستقيم در حرکت است . اين اتومبيل در اثر ترمز با ستاب ثابت در مدت ۴s متوقف می شود . نيروی ترمز کننده چند نيوتن است؟  (۸۱  ت )

  √ ۱)۲۰۰۰۰            ۲)۱۰۰۰۰          ۳)۸۰۰۰          ۴)۴۰۰۰

۵-جسمی به جرم ۶ کيلوگرم روی يک سطح افقی قرار دارد. اگر به جسم نيروی افقی ۲۴  نيوتن وارد کنيم ، شتاب حرکت  m/s²   ۳  می شود .

ضريب اصطکاک لغزشی بين سطح و جسم کدام است؟ (۸۱ ر )

 √ ۱)۰/۱             ۲)۰/۲            ۳)۰/۲۵           ۴)۰/۵

۶- فرض کنيد برجسمی به جرم ۵/۰ kg دو نيروی f₁=3i-4j و f₂=-2f₁ اثر

می کنند. بزرگی شتاب حرکت آن در SIچقدر است ؟ (۸۲  ر )

   ۱)۱              ۲)۵             √ ۳)۱۰             )۱۵ 

۷-گلوله ای به نخی به طول L  بسته شده و با سرعت اوليه ای که به آن داده شده آزادانه در يک صفحه قائم روی دايره ای به شعاع L  در زمانهای مساوی دور می زند . نيروی مرکز گرای اين گلوله :  ( ۸۲  ر )

     ۱)در کل مسير مقدار ثابتی است.

  √ ۲)در پايين ترين نقطه مسير بيشينه است.

     ۳)در بالاترين نقطه مسير بيشينه است.

     ۴)در هر نقطه برابر با کشش نخ در آن نقطه است

۸-جسمی به جرم 2 kg  روی سطح شيبداری که با افق زاويه ۳۰ درجه می سازد آزادانه با سرعت ثابت رو به پايين می لغزد . نيرويی که از طرف سطح بر جسم وارد می شود چند نيوتن است ؟ (۸۳  ت )

    ۱)۱۰                    √  ۲)۱۰Γ۳

    ۳)۲۰                        ۴)۲۰Γ۳

۹-جرم گلوله A دو برابر جرم گلوله B است . و هر دو روی يک مسير دايره ای با سرعت ثابت می چرخند. شتاب مرکز گرای گلوله A چند برابر شتاب مرکزگرای گلوله B است؟

 (۸۳  ر )

 √ ۱)۱               ۲)۲             ۳)۳               ۴)۴

۱۰-سه نيروی ۸ و ۶ و ۱۲ نيوتن با هم به جسمی به جرم  4kg  اعمال شده و جسم ساکن است. هر گاه نيروی  6N حذف شود جسم با چه شتابی در SI حرکت می کند ؟ (۸۴  ر  )

  ۱)۱             √ ۲)۱/۵              ۳)۲/۵            ۴)۵

۱۱-جسمی به جرم ۸ kg  روی سطح افقی با اعمال نيروی افقی ۶۰ N با سرعت ثابت حرکت می کند. نيرويی که سطح بر جسم وارد می کند چند نيوتن است؟  ( ۸۴  ر )

   ۱)۶۰                ۲)۸۰              √ ۳)۱۰۰                ۴)۱۴۰

۱۲- فنری با ثابت ۵۰ نيوتن بر متر را به وزنه ای به جرم ۵ کيلوگرم بسته ايم و آن را با سرعت ثابت روی يک سطح افقی می کشيم . اگر فنر در حالت افقی بوده و ۱۰ سانتيمتر افزايش طول پيدا کرده باشد . ضريب اصطکاک جنبشی بين جسم و سطح چقدر است ؟ ( ۸۵ ت )

 √ ۱) ۱/.          ۲)۲/.             ۳)۳/.              ۴)۴/.   

۱۳- فنری روی سطح افقی با نيروی کشسانی ۲۰ نيوتن کشيده شده و به حالت تعادل قرار دارد . اگر انرژی کشسانی ذخيره شده در فنر در اين حالت ۲ ژول باشد . ضريب ثابت فنر چند N/m است ؟ ( ۸۵ ت )

   ۱) ۵۰            ۲) ۱۰۰          ۳) ۲۰۰              ۴) ۴۰۰ 

  ۱۴- به جسمی به جرم ۵/. کيلوگرم نيروی  F=i-j/2 وارد می شود. اگر سرعت جسم در مبدا زمان v=2i+j در SI باشد . سرعت در لحظه t=2 ثانيه چند متر بر ثانيه است ؟ ( ۸۵ ر )

   ۱) ۶                         ۲)Γ۱۷  (راديکال هفده)            

   ۳)۸                         √ ۴)Γ۳۷